介绍了一种新型并联钢坯修磨机器人机构，对其运动学和动力学进行了分析和计算，并给出了它们的显式解。在磨削轨迹规划中，采用了四次多项式曲线和回旋曲线。最后，结合实例进行了计算机仿真。并联机器人，动力学，轨迹规划，并联钢坯修磨机器人动力学及轨迹规划的计算机仿真研究，高，光启。介绍了一种新型的并联钢坯修磨机器人机构，并对其进行了运动学和动力学分析，给出了显式解。四阶多项式和回旋线用于避障路径规划。最后用计算机模拟。并联机器人，动力学，路径规划，计算机仿真1引言本文介绍了一种新型三自由度并联钢坯修磨机器人机构，它由动平台、定平台、空间平移机构和连接两个平台的三个分支组成，每个分支之间以一个移动副作为驱动，其他关节作为虎克铰(图1)。其工作原理是由三个驱动轴控制移动平台沿X、Y、Z方向移动，安装在移动平台上的砂轮磨削钢坯。其功能相当于三轴联动数控磨床,但结构比传统磨床简单得多。此外，该机构还具有运动学和动力学正反算简单、工作空间大、无位置奇异等优点，为其设计和使用带来了很多方便。首先给出了这种并联机构的运动学正解和逆解，然后用拉格朗日法讨论了机构在操作空间和关节空间的动力学方程，然后根据钢坯修磨的工作特点规划了修磨轨迹，特别是转角轨迹的设计。最后，对运动学和动力学进行了计算机仿真。这些工作将为钢坯修磨机器人的控制和结构优化设计提供有益的依据。图1三自由度钢坯修磨机器人机构2的运动方程。在图1所示的机构中，上平台为固定平台，下平台为移动平台，都是正三角形。将坐标系XYZ置于固定平台的中心Ob处。轴向设动平台圆心Op在坐标系中的坐标为{xpypzp} t，由于动平台只有三个自由度，其位置和姿态没有变化，机构位置的逆解[1]为(1)其中d=(R-r)/2，R和R分别为上下平台的外接圆半径。从上面的公式，可以得到动平台中心的坐标。即机构位置的正解为(2)，由此可得运动平台的雅可比矩阵为(3) 3。利用拉格朗日法对机构进行了动力学分析。对于任何机械系统，操作空间中的主要作用力为(4)，其中：L称为拉格朗日函数，代表机构的动能K与势能P之差，qj为机构的广义坐标，qj={xp，y P，ZP} T .将L=K-P代入公式(4)，得到机构在操作空间中的主要作用力Fj为(5)。该机构中驱动杆的结构如图2所示，其质心与固定端的距离为(6)其中m为杆I的质量；M1是摆杆I中摆杆的质量；L01是摆杆质心到固定点Bi的距离；L02是伸缩杆形心到可动点Ai的距离；Li是杆I的总长度，它随时间变化。因此，该机制的
动能 (7)式中M为运动平台的质量； θi是杆i与固定平台的夹角
(8)机构的势能
(9)将式(7)和(9)代入式(5)得
(10)在式(10)中，忽略了各关节中摩擦力和空间平动机构对驱动力的影响．借助于雅可比矩阵J，可将操作空间的主动力转换成关节空间的关节驱动力
τj=JTFj j=1,2,3 (11)
图2 驱动杆结构示意图
4 修磨轨迹规划
钢坯修磨机器人是为了解决钢坯局部修磨自动化而设计的专用机器人，具体修磨轨迹如图3所示．
图3 钢坯修磨轨迹
本文采用直角坐标空间的规划方法进行轨迹规划．由于钢坯修磨采用恒压力，为避免产生磨削烧伤，保证修磨质量，作业时要求运动平台携带砂轮匀速通过全部作业轨迹(两端除外)．这就需要对拐角轨道进行特殊的光滑设计,以保证砂轮能够高速平稳地通过这一区域．如采用普通圆弧接续的拐角轨道将能够保证运动速度连续，但在直线与圆弧接点处，由于曲率的突然变化而造成了加速度的突变，从而导致了修磨运动的不稳定．为了解决这个问题，这里采用了回旋曲线接续的拐角轨道［3］．回旋曲线具有在接续点处曲率连续变化、一阶和二阶导数连续、拐角轨道光滑等特点，可使砂轮在不减速的情况下平稳地通过拐角轨道，特别适合机器人高速度和高精度的控制要求． 在图3中，修磨作业从A点开始到H点结束，AC、DE和FH为直线段，CD和EF分别为两段以对偶形式连接的回旋曲线．4.1 直线轨迹规划 在轨迹曲线AH中，AB和GH分别为加速和减速阶段，其它部分均为匀速运动．加速和减速阶段采用四次多项式曲线与匀速运动阶段进行拟合，四次多项式曲线方程如下：
P=K1t4+K2t3+K3t2+K4t+K0 (12)
式中K0是每段起始点的坐标．设加(减)速过程所用时间均为tf，边值条件为
(13)由上述边值条件可求出式(12)的各个系数并代回原式中得
(14)当V1=0，V2=V匀时，为启动加速的AB阶段，运动方程为
(15)当V1=V匀,V2=0时，为减速停止的GH阶段，运动方程为
(16)当V1=V2=V匀时，为匀速直线运动阶段，其中BC段运动方程为
x=V匀t+xB, y=yB (17)
DE段
x=-V匀t+xD, y=yD (18)
FG段
x=V匀t+xF, y=yF (19)
4. 2 拐角轨道规划 拐角轨道CM1D和EM2F是两段分别以M1和M2为对称中心的对偶回旋曲线，其中CM1段方程为
(20)式中： a为长度系数，；b为比例系数，b=φm/t2m；φm是对接点M1处的切线角；tm是对接点处的参变量；φ0是曲线与直线对接点处的倾角．同理DM1段方程为
(21)EM2段
(22)FM2段
(23)5 计算机仿真
为分析在修磨过程中各关节和运动平台的速度、加速度及驱动力的变化,应用MATLAB软件对这些因素进行了计算机仿真．设整个机构及修磨轨迹方程的有关参数如下表．
仿真参数表
a. 各杆的速度由线 b. 各杆加速度曲线图4 驱动关节仿真结果
a. 运动平台沿XY方向的速度 b. 运动平台沿XY方向的加速度图5 仿真结果
将表1中参数代入(12)式，可得三杆各移动副的驱动力变化如图6．从图6中可见，各杆驱动力在加、减速和拐角轨迹(回旋曲线)阶段有较大的变动，而在直线轨迹阶段，它的变化比较平稳的．并且在全部修磨过程中，驱动力一直是连续变化的．
图6 各杆的驱动力
6 结论
（1） 通过对一种三自由度并联式钢坯修磨机器人机构的研究，得到了相对简单的运动学正逆解，并应用拉格朗日方法求得了机构的动力学方程的显示解． （2） 在钢坯修磨轨迹中，加减速及匀速直线运动阶段采用了四次曲线拟合，而在拐角轨道处应用了对偶形式的回旋曲线． （3） 仿真结果表明，各杆和运动平台的速度、加速度及杆的关节驱动力均为连续函数，无突变，能够满足高速修磨作业的要求．
